Metodi di interpolazione ed approssimazione. Interpolazione polinomiale di Hermite e per curve. Le funzioni Splines. Approssimazione di Berstein. La migliore approssimazione ai minimi quadrati. La derivazione numerica. Le formule di quadratura in generale e quelle interpolatorie. MATLAB.
L. Gori, Calcolo Numerico IV edizione 2006, Edizioni KAPPA
F. Fontanella, A. Pasquali, Calcolo numerico, Metodi e algoritmi. Vol. 2, 1980, Pitagora Editore
M.L. Lo Cascio, Fondamenti di Analisi Numerica, 2007, McGraw-Hill Bevilacqua , Bini , Capovani, Menchi, Metodi Numerici, 1992, Zanichelli
Dispense preparate dagli studenti degli anni precedenti.
Obiettivi Formativi
Saper riconoscere e risolvere un problema di natura numerica ed in particolare un problema di approssimazione.
Individuare strategie algoritmiche risolutive.
Prerequisiti
Elementi di base del calcolo numerico. Conoscenza del linguaggio MATLAB
Metodi Didattici
Lezione frontale ed esercitazione Matlab in laboratorio sugli argomenti visti a lezione
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale volto anche alla verifca di competenze critiche e trasversali ed alla capacità di sviluppare algoritmi Matlab per la risoluzione di problemi di analisi numerica. Preparazione di un programma Matlab che risolve uno dei problemi teorici visti a lezione.
Programma del corso
[1] Approssimazione ed interpolazione:
[1.1] Posizione del problema: classi di funzioni e forma delle possibili approssimanti;
[1.2] Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange; Espressione dell'errore;
[1.3] L'errore nel caso dei nodi uniformi ed il suo comportamento asintotico;
[1.4] Stabilita' nelle formule di interpolazione e la costante di Lebesgue;
[1.5] I polinomi di Chebyshev; Interpolazione con nodi gli zeri di Chebyshev;
[1.6] Il Teorema di Weierstrass ed in polinomi di Berstein;
[1.7] Polinomi interpolanti di tipo osculatorio ed interpolazione di Hermite; Espressione dell'errore;
[1.8] Le funzioni Splines: definizione, prorieta', base delle potenze troncate;
[1.9] Spline interpolanti ed approssimanti; Le spline cubiche interpolanti nei nodi (naturali e complete)
1.10] Le B-spline come base dello spazio delle spline e l'algoritmo di De Boor (con particolare attenzione al caso cubico);
[1.1] Il caso parametrico: interpolazione parametrica con parametrizzazione uniforme e della lunghezza dell'arco;
[2] Sistemi lineari rettangolari: il problema lineare dei minimi quadrati min_{x\in \RR^n}||Ax-b||_2 caso m>> n
[2.1] Posizione del problema; Esistenza ed unicita' della soluzione;
[2.2] Risoluzione mediante il sistema delle equazioni normali A^TAx=A^Tb;
[2.3] Matrici ortogonali e loro proprieta'; le matrici di Hauseholder;
[2.4] Fattorizzazione QR di una matrice utilizzando le matrici di Hauseholder;
[2.5] Risoluzione del problema lineare dei minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR;
[2.6] La migliore approssimazione ai minimi quadrati trigonometrica ed il caso particolare dell'interpolazione; sviluppo di Fourier: cenni;
[3] Derivazione numerica: idee di base ed alcune semplici formule. Il metodo dei coefficienti indeterminati;
[4] Formule di quadratura (FdQ)
[4.1] Posizione del problema; caso lineare sui nodi x_0,...,x_n: formule del tipo \sum_{i=0}^nw_if(x_i)
[4.2] Grado di precisione g per le FdQ; limitazione superiore del grado di precisione (GdP) g<=2n+1
[4.3] Caso pesi equilimitati: dimostrazione di convergenze delle FdQ all'integrale per n->\infty e studio della stabilita' della formula;
[4.4] Metodo dei coefficienti indeterminati;
[4.5] FdQ interpolatorie: generalita' e limite inferiore del grado di precisione (n<=g<=2n+1);
[4.5.1] Formule di Newton-Cotes di tipo aperto; grado di precisione ed esempi;
[4.5.2] Formule di Newton-Cotes di tipo chiso; grado di precisione ed esempi;
[4.5.4] Valutazione pratica dell'errore e metodo di estrapolazione di Richardson;
[4.5.5] Formule di quadratura adattative;